行列式在数学中,是一个函数,其定义域为det的矩阵A,取值为一个标量,写作det(A)或|A|。无论是在线性代数、多项式理论,还是在微积分学中(比如说换元积分法中),行列式作为基本的数学工具,都有着重要的应用。
|A|=0,可得:
1、A的行向量线性相关;
2、A的列向量线性相关;
3、方程组Ax=0有非零解;
4、A的秩小于n。(n是A的阶数)
5、A不可逆
|A|≠0
<=> A可逆(又非奇异)
<=> 存在同阶方阵B满足AB=E(或BA=E)
<=> R(A)=n
<=> A的列(行)向量组线性无关
<=> AX=0 仅有零解
<=> AX=b 有唯一解
<=> 任一n维向量都可由A的列向量组唯一线性表示
<=> A可表示成初等矩阵的乘积
<=> A的等价标准形是单位矩阵
<=> A的行最简形是单位矩阵
<=> A的特征值都不等于0.
<=> A^TA是正定矩阵.
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