可积一定有界吗

文/赵乐玮

可积一定有界。可积分,说明积分对象必然存在一个界,这个很通俗啦。而对于广义积分,同样适合,广义积分虽然积分区间是无穷的,不过那个面积的大小却是有限的,所谓的界,可以理解为面积,而不是区间长度。

可积一定有界吗

在一元微分学里面,可微与可导是等价的处于同样的地位,但是在多元微分学里面,可微强于可导(可偏导);同样在一元微分学里面,可微(可导)均可推出连续,但是在多元微分学里面,可微可推出连续。

可偏导并不能保证连续,需要偏导有界才能保证连续性。剩下的有界与可积是相互联系的,Riemann可积函数类的第一个性质就是有界,当然如果对广义积分来说有界就不是必要的了。而连续函数必Riemann可积,因此连续强于可积性。

总的来说,一元微积分里面,可积<连续<可微=可导,而可积必有界,对连续函数而言,需要在一定条件下才是有界的(如闭区间上的连续)。多元微积分里面,积分有多种,剩下的连续、可微、可导满足:可微必连续、可导;连续可偏导必可微;偏导有界必连续。

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