抛物线的标准方程和几何性质

文/微凉395

一、抛物线的标准方程和几何性质

1、抛物线的定义

平面内与一个定点$F$和一条定直线$l$($l$不经过点$F$)距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点$F$叫做抛物线的焦点,直线$l$叫做抛物线的准线。

设$M$是抛物线上任意一点,$F$是抛物线的焦点,点$M$到$l$的距离为$d$,由抛物线的定义知,抛物线就是集合$P={M||MF|=d}$。

注:(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”:一个动点,设为$M$;一个定点$F$(抛物线的焦点);一条定直线$l$(抛物线的准线);一个定值1(抛物线的离心率)。

2、抛物线的方程

中心在坐标原点,焦点在$x$轴正半轴上的抛物线的标准方程是$y^2=2px(p>0)$;

中心在坐标原点,焦点在$x$轴负半轴上的抛物线的标准方程是$y^2=-2px(p>0)$;

中心在坐标原点,焦点在$y$轴正半轴上的抛物线的标准方程是$x^2=2py(p>0)$;

中心在坐标原点,焦点在$y$轴负半轴上的抛物线的标准方程是$x^2=-2py(p>0)$。

3、抛物线的几何性质

若抛物线方程为$y^2=2px(p>0)$,则

对称轴为$x$轴,焦点坐标$\left(\frac{p}{2},0\right)$,准线方程为$x=-\frac{p}{2}$,离心率$e=1$,焦准距为$p$,通径长为$2p$。

注:(1)离心率:抛物线上的点$M$到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用$e$表示。由定义可知,$e=1$。

(2)焦准距:抛物线的焦点到它的准线的距离叫做焦准距。

(3)抛物线上到焦点距离最小的点是抛物线的顶点,距离的最小值为$\frac{p}{2}$。

二、抛物线的标准方程的相关例题

抛物线的准线方程是$y=-1$,则抛物线的标准方程是___

A.$x^2=4y$

B.$x^2=-4y$

C.$y^2=4x$

D.$y^2=-4x$

答案:A

解析:由抛物线准线方程$y=-1$,可知此抛物线开口向上焦点坐标为$(0,1)$,则抛物线方程为$x^2=4y$,故A正确。

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