一、等比数列的定义和通项公式
1、等比数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母$q$表示$(q≠0)$,即$\frac{a_n}{a_{n-1}}=q(n\geqslant2)$。
(1)等比数列中任一项都不为0,且公比$q≠0$。
(2)若一个数列为常数列,则此数列一定是等差数列,但不一定是等比数列,如:0,0,0,0,$\cdots$。
2、等比数列的通项公式
(1)通项公式
若等比数列${a_n}$的首项为$a_1$,公比为$q$,则这个等比数列的通项公式是$a_n=a_1q^{n-1}(a_1,q≠0)$。
在记忆公式时,要注意$q$的指数比项数$n$小1这一特点。
注:由$a_n=a_1q^{n-1}$,$a_m=a_1q^{m-1}$,可推出$\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$,即$a_n=a_mq^{n-m}$。
所以有:① 在已知等比数列${a_n}$中任一项$a_m$及公比$q$的前提下,可以使用$a_n=a_mq^{n-m}$求得等比数列中的任意项$a_n$。
②已知等比数列${a_n}$中的$a_m$和$a_n$两项,就可以使用$\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$求出公比。
(2)等比数列中项的正负
对于等比数列${a_n}$,若$q<0$,则${a_n}$中正负项间隔出现,如数列1,-2,4,-8,16,$\cdots$;若$q>0$,则数列${a_n}$各项同号。综上,等比数列奇数项必同号,偶数项也同号。
3、等比中项
如果在$a$与$b$中间插入一个数$G(G≠0)$,使$a$,$G$,$b$成等比数列,那么$G$叫做$a$与$b$的等比中项。
若$G$是$a$与$b$的等比中项,则$\frac{G}{a}=\frac{b}{G}$,即$G^2=ab$,$G=±\sqrt{ab}$。
① 任意两个数都有等差中项,但不一定有等比中项。只有当两个数同号且不为0时,才有等比中项。
② 两个数$a$,$b$的等差中项只有一个,两个同号且不为0的数的等比中项有两个。
注:(1)只有非零同号的两数才有等比中项,并且等比中项有两个,它们互为相反数。(2)在等比数列${a_n}$中,从第2项起,每一项(有穷等比数列末项除外)是前一项与后一项的等比中项,即$a^2_n=a{n+1}a{n-1}(n\geqslant2,n∈\mathbf{N}^*)$。
4、等比数列与函数的关系
等比数列$\{a_n\}$的通项公式$a_n=a_1q^{n-1}(a_1,q≠0)$可以改写为$a_n=\frac{a_1}{q}·q^n$,当$q>0$且$q≠1$时,等比数列$\{a_n\}$的图象是指数型函数$y=\frac{a_1}{q}·q^x$的图象上一些孤立的点。
(1)当$\begin{cases}a_1>0,\\q>1\end{cases}$或$\begin{cases}a_1<0,\\0<q<1\end{cases}$时,等比数列$\{a_n\}$为递增数列;
(2)当$\begin{cases}a_1>0,\\0<q<1\end{cases}$或$\begin{cases}a_1<0,\\q>1\end{cases}$时,等比数列$\{a_n\}$为递减数列;
(3)当$q=1$时,等比数列$\{a_n\}$为常数列(这个常数列中各项均不等于0);
(4)当$q<0$时,等比数列$\{a_n\}$为摆动数列(它所有的奇数项同号,所有的偶数项同号,奇数项与偶数项异号)。
5、等比数列的性质
设${a_n}$是公比为$q$的等比数列,那么
(1)数列${a_n}$是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等,且等于首末两项之积,即$a_1a_n=a_2a{n-1}=a_3a{n-2}=$$\cdots=$$a_ma_{n-m+1}$。
(2)若$m$,$n$,$p$$(m,n,p∈\mathbf{N}^*)$成等差数列,则$a_m$,$a_n$,$a_p$成等比数列,即$a^2_n=a_ma_p$。
(3)若$m+n=p+q(m,n,p,q∈\mathbf{N}^*)$,则$a_ma_n=a_pa_q$。特别地,若$m+n=2p$,则$a_ma_n=a^2_p$。
(4)数列${λa_n}$($λ$为不等于0的常数)仍是公比为$q$的等比数列;
数列$\begin{Bmatrix}\dfrac{1}{a_n}\end{Bmatrix}$是公比为$\frac{1}{q}$的等比数列;
数列${|a_n|}$是公比为$|q|$的等比数列;
若数列${b_n}$是公比为$q^′$的等比数列,则数列${a_n·b_n}$是公比为$q·q^′$的等比数列。
(5)当数列${a_n}$是各项都为正数的等比数列时,数列${\lg a_n}$是公差为$\lg q$的等差数列。
(6)在数列${a_n}$中,连续相邻$k$项的和或积构成公比为$q^k$或$q^{k^2}$的等比数列(相邻$k$项的和都不为0)。
(7)在数列${a_n}$中,每隔$k(k∈\mathbf{N}^*)$项取出一项,按原来的顺序排列,所得数列仍为等比数列,且公比为$q^{k+1}$。
二、等比数列的相关例题
已知等比数列${a_n}$满足:$a_2=2$,$a_5=\frac{1}{4}$,则公比$q=$___
A.$-\frac{1}{2}$ B.$\frac{1}{2}$ C.$-2$ D.$2$
答案:B
解析:∵等比数列${a_n}$满足$a_2=2$,$a_5=\frac{1}{4}$,∴$2q^3=\frac{1}{4}$,解得$q=\frac{1}{2}$,故选B。
2.高中数列难不难