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射影定理的定义

2021-03-01

文/初遇见

专题:射影定理定义定理

一、射影定理的定义

1、定义

射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形计算的重要定理。

2、射影定理

在${\rm Rt}△ABC$中，$∠ABC=90°$，$BD$是斜边$AC$上的高，则有射影定理如下：

$BD^2=AD·CD$

$AB^2=AC·AD$

$BC^2=CD·AC$

二、射影定理的相关例题

在平面几何里有射影定理：设三角形$ABC$的两边$AB⊥AC$，$D$是$A$点在$BC$上的射影，则$AB^2=BD·BC$。拓展到空间，在四面体$A-BCD$中，$AD$⊥平面$ABC$，点$O$是$A$在平面$BCD$内的射影，且$O$在$\triangle BCD$内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是

A．$S^2_{△ABC}=S_{△BCO}·S_{△BCD}$

B．$S^2_{△ABD}=S_{△BOD}·S_{△BDC}$

C．$S^2_{△ADC}=S_{△DOC}·S_{△BDC}$

D．$S^2_{△BDC}=S_{△ABD}·S_{△ABC}$

答案：A

解析：直角三角形中的射影定理为：$AB^2$=$BD·BC$(即直角边的平方等于它在斜边上的射影与斜边的积) ，所以四面体中可类比得：$S^2_{△ABC}=S_{△BCO}·S_{△BCD}$。（侧面面积的平方等于它在底面上的射影与底面的积)。