实数大小比较的常见方法

一、实数大小比较的常见方法

1、实数

有理数和无理数统称为实数。

2、实数的性质

（1）数$a$的相反数是$-a$，这里$a$表示任意一个实数。

（2）一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即设$a$表示一个实数，则

$\displaystyle{}|a|=\begin{cases}a,当a>0时;\\0,当a=0时;\\-a,当a<0时。\end{cases}$

（3）实数$a$的倒数为$\frac{1}{a}$$(a≠0)$，若$a$与$b$互为倒数，则$ab=1$；若$ab=1$，则$a$与$b$互为倒数。

3、实数的运算

当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用。

4、比较实数大小的常见方法

（1）把根号外的正数平方后移入根号内，由被开方数的大小比较根式的大小；对于符号相同的两个根式，利用乘方法来比较大小。如：同是正号的两个平方根式，平方后大的根式，原根式也大；同是负号的两个平方根式，平方后大的根式，原根式反而小。

（2）作差法比较：若$a-b>0$，则$a>b$；若$a-b<0$，则$a<b$。

（3）对于符号相同的两个实数，还可利用取倒数法来比较大小，即若$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}>0$，则$a<b$；若$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}<0$，则$a>b$。

二、实数大小比较的相关例题

比较下列两组数的大小

（1）$\sqrt{65}$8 （2）$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$0.5

直接在空格出填写符号“>”“<”或“=”。

答案：（1）> （2）>

解析：（1）因为$(\sqrt{65})^2=65$，$8^2=64$，所以$(\sqrt{65})^2>64$，所以$\sqrt{65}>8$。（2）因为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$-0.5=$$\frac{\sqrt{5}-2}{2}=$$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{2}>0$，所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}>0.5$。

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