平方根的概念和性质

一、平方根的概念和性质

1、算术平方根

一般地，如果一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个正数$x$叫做$a$的算术平方根。$a$的算术平方根记为$\sqrt{a}$，读作“根号$a$”，$a$叫做被开方数。

规定：0的算术平方根是0。

2、平方根

（1）平方根的相关概念

一般地，如果一个数的平方等于$a$，那么这个数叫做$a$的平方根或二次方根。这就是说，如果$x^2=a$，那么$x$叫做$a$的平方根。如2和$-2$是4的平方根，简记为$±2$是4的平方根。

（2）平方根的性质

① 正数有两个平方根，它们互为相反数。

② 0的平方根是0。

③ 负数没有平方根。

（3）平方根的表示方法

正数$a$的算术平方根可以用$\sqrt{a}$表示；正数$a$的负的平方根可以用符号“$-\sqrt{a}$”表示，故正数$a$的平方根可以用符号“$±\sqrt{a}$”表示，读作“正、负根号$a$”。

3、平方根与算术平方根的区别与联系

（1）区别

① 正数的算术平方根只有一个，而正数的平方根有两个。

② 正数$a$的算术平方根表示为$\sqrt{a}$，而正数$a$的平方根表示为$±\sqrt{a}$。

③ 正数的算术平方根一定是正数，而正数的平方根为一正一负，互为相反数。

（2）联系

① 平方根包含算术平方根，一个数的正的平方根就是它的算术平方根。

② 只有非负数才有平方根和算术平方根，即$\sqrt{a}\geqslant0$，$a\geqslant0$。

③ 0的平方根与算术平方根均为0。

二、平方根的相关例题

12的负的平方根介于___

A．$-5$与$-4$之间

B．$-4$与$-3$之间

C．$-3$与$-2$之间

D．$-2$与$-1$之间

答案：B

解析：12的负的平方根是$-\sqrt{12}$，且$-\sqrt{16}<$$-\sqrt{12}<$$-\sqrt{9}$，即$-4<$$-\sqrt{12}<$$-3$。故选B。

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