解直角三角形的定义和依据

文/乡村

一、解直角三角形的定义和依据

1、解直角三角形

一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角。由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的依据

在直角三角形$ABC$中,$∠C$为直角,$∠A$,$∠B$,$∠C$所对的边分别为$a$,$b$,$c$,那么除直角$C$外的5个元素之间有如下关系:

(1)三边之间的关系:$a^2+b^2=c^2$(勾股定理)。

(2)两锐角之间的关系:$∠A+∠B=90°$。

(3)边角之间的关系

$\sin A=\displaystyle{}\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{a}{c}$,$\sin B=\displaystyle{}\frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{b}{c}$;

$\cos A=\displaystyle{}\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{b}{c}$,$\cos B=\displaystyle{}\frac{∠B的邻边}{斜边}=\frac{a}{c}$;

$\tan A=\displaystyle{}\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{a}{b}$,$\tan B=\displaystyle{}\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{b}{a}$。

(4)面积公式

$S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$($h$为斜边上的高)。

3、解直角三角形的类型与解法

在Rt$△ABC$中,$∠C=90°$,角$A$,$B$,$C$对应的边分别为$a$,$b$,$c$。

(1)已知两直角边(如$a$,$b$),则由$\tan A=\frac{a}{b}$可求$∠A$,$∠B=90°-∠A$,$c=\sqrt{a^2+b^2}$。

(2)已知斜边和一直角边(如$c$,$a$)则由$\sin A=\frac{a}{c}$可求$∠A$,$∠B=90°-∠A$,$b=\sqrt{c^2-a^2}$。

(3)已知一直角边和一锐角(锐角,邻边如$∠A$和$b$),则$∠B=90°-∠A$,$a=b·\tan A$,$c=\frac{b}{\cos A}$。(锐角,对边如$∠A$和$a$),则$∠B=90°-∠A$,$b=\frac{a}{\tan A}$,$c=\frac{a}{\sin A}$。

(4)已知斜边,锐角(如$c$,$∠A$),则$∠B=90°-∠A$,$a=c·\sin A$,$b=c·\cos A$。

4、解直角三角形应用题中的常见概念

(1)仰角、俯角

在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角,视线在水平线下方的叫做俯角。

(2)方位角

从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角。

(3)方向角

从南北方向线较近一端起到目标方向线所夹的锐角叫做方向角,在找方向角时,要选准原点,在说方向角时要先说“南或北”,后说“东或西”。

(4)坡度与坡角

坡面的垂直高度$h$和水平宽度$l$的比叫做坡度,又称坡比,用$i$表示,$i=\tanα=\frac{h}{l}$,其中坡面与水平面的夹角$α$叫做坡角。

二、解直角三角形的相关例题

在下列情况下,可解的直角三角形是___

A.已知$b=3$,$∠C=90°$

B.已知$∠C=90°$,$∠B=46°$

C.已知$a=3$,$b=6$,$∠C=90°$

D.已知$∠B=15°$,$∠A=65°$

答案:C

解析:A项中,缺少$∠A$或$∠B$的值,故不能解直角三角形;B项中,知道角的关系,但是没有边的大小,故不能解直角三角形;C项中,利用勾股定理求出$c$的值,然后利用锐角三角函数的定义可求出$∠A$和$∠B$;D项中,$∠C=100°$,不是直角三角形。故选C。

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