一、二元一次方程的定义和二元一次方程组的解
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
例如：$x+y=5$是二元一次方程。
2、二元一次方程的解
（1）二元一次方程的解的定义
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
（2）二元一次方程的解的个数
一般情况下，一个二元一次方程有无数个解，如方程$x+y=18$的解可以是$\begin{cases}x=1,\\y=17,\end{cases}$$\begin{cases}x=2,\\y=16,\end{cases}$$\begin{cases}x=10,\\y=8\end{cases}$等。
（3）二元一次方程的解的检验
检验一组数是不是某个二元一次方程的解时，可将这组数代入到方程中，若这组数满足该方程（即使方程左右两边相等），就说这组数是该二元一次方程的解，否则，不是该二元一次方程的解。
3、二元一次方程组
（1）二元一次方程组的定义
有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组。其一般形式是$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1,\\a_2x+b_2y=c_2,\end{cases}$其中$a_1$，$a_2$不同时为0，$b_1$，$b_2$不同时为0。
（2）二元一次方程组的解
①一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元—次方程组的解。
②二元一次方程组的解的检验
检验一组数是不是某个二元一次方程组的解时，可将这组数代入方程组中的每个方程，只有当这组数满足其中所有的方程时，才能说这组数是此方程组的解。
③书写方程组的解时，必须用“{”把各个未知数的值连接在一起，即写成$\begin{cases}x=a,\\y=b\end{cases}$的形式。
④二元一次方程组$\begin{cases}Ax+By+C=0,\\Dx+Ey+F=0\end{cases}$解的情况
当$\frac{A}{D}≠\frac{B}{E}$时，方程组有唯一一组解；
当$\frac{A}{D}=\frac{B}{E}=\frac{C}{F}$时，方程组有无数组解；
当$\frac{A}{D}=\frac{B}{E}≠\frac{C}{F}$时，方程组无解。
4、解二元一次方程组
（1）消元思想
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程。我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想。
（2）代入消元法
① 定义
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
② 步骤
变：将其中一个方程变形，使一个未知数用含另一个未知数的代数式表示。
代：用这个代数式代替另一个方程中的相应未知数，得到一个一元一次方程。
解：解这个一元一次方程。
求：把求得的未知数的值代入代数式或原方程组中的任意一个方程中，求得另一个未知数的值。
写：写出方程组的解。
（3）加减消元法
①定义
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
②步骤
化：将方程组中的方程化为有一个未知数系数的绝对值相等的形式。
加减：根据其系数特点将变形后的两个方程相加或相减，得到一元一次方程。
解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
代：把求得的一个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出另一个未知数的值。
写：把求得的两个未知数的值用花括号联立起来，这样就得到二元一次方程组的解。
（4）整体消元法
根据方程组中各系数的特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，代入另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，求得方程组的解。
5、三元一次方程组
（1）三元一次方程组
含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。如$\begin{cases}x-2y+z=9,\\2x+y+3z=10,\\3x+2y-4z=-3\end{cases}$是三元一次方程组。
（2）解三元一次方程组的基本思路
通过“代入”或“加减”进行消元，将“三元”化为“二元”，从而使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程。
二、二元一次方程的相关例题
设实数$x$，$y$满足方程组$\begin{cases}\frac{1}{3}x-y=4,\\frac{1}{3}x+y=2,\end{cases}$则$x+y=$___
A．5 B．6 C．7 D．8
答案：D
解析：$\begin{cases}\frac{1}{3}x-y=4,①\\frac{1}{3}x+y=2,②\end{cases}$①+②，得$\frac{2}{3}x=6$，解得$x=9$。把$x=9$代入①，得$y=-1$。∴$x+y=8$。故选D。
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