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方差和标准差的定义

2021-03-11

文/说好的

一、方差和标准差的定义

1、方差

设有$n$个数据$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$，各数据与它们的平均数$\overline{x}$的差的平方分别是$(x_1-\overline{x})^2$，$(x_2-\overline{x})^2$，$\cdots$，$(x_n-\overline{x})^2$，我们用这些值的平均数，即用$\frac{1}{n}［(x_1-\overline{x})^2+$$(x_2-\overline{x})^2+$$\cdots+$$(x_n-\overline{x})^2］$来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作$s^2$。

2、标准差

标准差公式是一种数学公式。标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差。

样本标准差=方差的算术平方根，

即标准差公式为

$s=\sqrt{\frac{1}{n}［(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2］}$。

标准差和方差描述了一组数据与平均数的离散程度，反映了一组数据相对于平均数的波动情况，标准差和方差越大，说明这组数据的波动性越大，即离散程度越大；标准差和方差越小，说明这组数据的波动性越小，即离散程度越小。

二、方差的相关例题

若样本$x_1$，$x_2$，$x_3$，$\cdots$，$x_n$的平均数为10，方差为4，则对于样本$x_1-3$，$x_2-3$，$x_3-3$，$\cdots$，$x_n-3$，下列结论正确的是___

A．平均数为10，方差为2

B．众数不变，方差为4

C．平均数为7，方差为4

D．中位數变小，方差不变

答案：C

解析：样本$x_1-3$，$x_2-3$，$x_3-3$，$\cdots$，$x_n-3$，对于样本$x_1$，$x_2$，$x_3$，$\cdots$，$x_n$来说，每个数据均在原来的基础上减少3，根据平均数、方差的变化规律得：平均数减少3，而方差不变，即：平均数为10-3=7，方差为4，故选C。