

根与系数的关系及分布

2021-03-11

文/倾心~九月

一、根与系数的关系及分布

1、一元二次方程根的个数与根的分布

一般地，式子$b^2-4ac$叫做方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的根的判别式。通常用希腊字母$\mathit{Δ}$表示，即 $\mathit{Δ}=$$b^2-4ac$。

（1）当 $\mathit{Δ}=b^2-4ac>0$时，一元二次方程$ax^2+$$bx+$$c=0$（$a≠0$）有两个不相等的实数根。即$x_1=$$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

（2）当 $\mathit{Δ}=b^2-4ac=0$时，一元二次方程$ax^2+$$bx+$$c=0$（$a≠0$）有两个相等的实数根。即$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$。

（3）当$\mathit{Δ}=b^2-4ac<0$时，一元二次方程$ax^2+$$bx+$$c=0$（$a≠0$）无实数根。

2、一元二次方程的根与系数的关系

当$b^2-4ac\geqslant0$时，一元二次方程$ax^2+$$bx+$$c=0$（$a≠0$）有两个实数根$x_1$，$x_2$，且满足求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，则有：$x_1+x_2=$$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+$$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=$$-\frac{b}{a}$，$x_1·x_2=$$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}·$$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=$$\frac{c}{a}$，即$x_1$，$x_2$满足：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。

二、根与系数的关系的相关例题

已知$x_1$，$x_2$是一元二次方程$x^2-4x+1=0$的两个实数根，则$x_1·x_2$等于___

A．-4 B．-1 C．1 D．4

答案：C

解析：直接根据根与系数的关系求解得$x_1·x_2=\frac{c}{a}=1$。