双曲线是高中数学非常重要的一个知识点,很多同学很容易将双曲线和椭圆的性质弄混,为了帮助同学们了解清楚双曲线的概念,本期小编将为大家带来“双曲线渐近线方程怎么求”等问题的答案,并为大家附上高中数学双曲线公式推导。
一、高中数学双曲线公式推导
双曲线概念:平面内两个定点F1与F2的距离的差的绝对值等于一个常数(值为2a)的轨迹称为双曲线。
双曲线的标准方程:
1、焦点在X轴上时为: x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
2、焦点在Y 轴上时为: y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1
性质:双曲线的图像无限接近渐近线,但永不相交。 离心率e>1,随着e的增大,双曲线张口逐渐变得开阔。
在双曲线的两侧的区域称为双曲线内,则有x^2/a^2-y^2/b^2>1;
在双曲线的线上称为双曲线上,则有x^2/a^2-y^2/b^2=1;
在双曲线所夹的区域称为双曲线外,则有x^2/a^2-y^2/b^2<1。
对称性:双曲线的对称性与椭圆完全相同,关于x轴、y轴及原点中心对称。
等轴双曲线(等边双曲线):x2-y2=a2(a≠0),它的渐近线方程为y=±b/a*x,离心率e=c/a=√2。
(圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离) :左焦半径:r=│ex+a│ 右焦半径:r=│ex-a│
通径长:(圆锥曲线中,过焦点并垂直于轴的弦)d=2b^2/a
弦长公式:d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2;
双曲线的渐近线:
当焦点在x轴上时,双曲线渐近线的方程是y=[+(-)b/a]x;
当焦点在y轴上时,双曲线渐近线的方程是y=[+(-)a/b]x。
二、双曲线渐近线方程怎么求?
双曲线的渐近线方程:y=±(b/a)x(当焦点在x轴上),y=±(a/b)x (焦点在y轴上),或令双曲线标准方程x²/a²-y²/b²=1中的1为零,即得渐近线方程。
焦点坐标、渐近线方程
方程x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)
c²=a²+b²
焦点坐标(-c,0),(c,0)
渐近线方程:y=±bx/a
方程 y²/a²-x²/b²=1(a>0,b>0)
c²=a²+b²
焦点坐标(0,c),(0,-c)
渐近线方程:y=±ax/b
几何性质
1、双曲线 x²/a²-y²/b² =1的简单几何性质
(1)范围:|x|≥a,y∈R;
(2)对称性:双曲线的对称性与椭圆完全相同,关于x轴、y轴及原点中心对称;
(3)顶点:两个顶点A1(-a,0),A2(a,0),两顶点间的线段为实轴,长为2a,虚轴长为2b,且c²=a²+b².与椭圆不同;
(4)渐近线:双曲线特有的性质;
方程:y=±(b/a)x(当焦点在x轴上),y=±(a/b)x (焦点在y轴上);
或令双曲线标准方程x²/a²-y²/b²=1中的1为零即得渐近线方程;
(5)离心率e>1,随着e的增大,双曲线张口逐渐变得开阔;
(6)等轴双曲线(等边双曲线):x2-y2=a2(a≠0),它的渐近线方程为y=±b/a*x,离心率e=c/a=√2;
(7)共轭双曲线:方程 x²/a²-y²/b²=1与x²/a²-y²/b²=-1 表示的双曲线共轭,有共同的渐近线和相等的焦距,但需注重方程的表达形式。
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