逆矩阵的行列式等于行列式的倒数

文/夜满月

因为AB=BA=E(单位阵),B是A的逆矩阵,所以|AB|=|BA|=1。当A是方阵时,|AB|=|A||B|,|BA|=|B||A|,有|B|=1/|A|。所以逆矩阵的行列式等于行列式的倒数。

逆矩阵的性质

1、可逆矩阵A的逆矩阵A⁻¹的逆矩阵为A。即(A⁻¹)⁻¹=A

2、如果矩阵A可逆,那么(kA)⁻¹=A⁻¹/k

3、如果矩阵A和B都是可逆矩阵,那么(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹

4、如果矩阵A可逆,那么(Aᵀ)⁻¹=(A⁻¹)ᵀ

5、如果矩阵A可逆,那么(Aᵏ)⁻¹=(A⁻¹)ᵏ

6、如果矩阵A是可逆矩阵,那么|A⁻¹|=|A|⁻¹

可逆矩阵的定义及其证明方法

可逆矩阵是线性代数中的一个矩阵,其定义为在线性代数中,给定一个n阶方阵A,若存在一n阶方阵B,使得AB=BA=In(或AB=In、BA=In任满足一个),其中In为n阶单位矩阵,则称A是可逆的,且B是A的逆阵,记作A^(-1)。

判断矩阵可逆的方法通常有:

(1)定义法,即:若存在矩阵B,使得AB=E,则A可逆;

(2)利用矩阵可逆的判别条件,即:若|A|≠0,则A可逆。

若矩阵A可逆,求A的逆矩阵通常有如下几种方法:

(1)定义法,与A之积为单位矩阵的矩阵即A的逆矩阵;

(2)伴随矩阵法,A-'=ATA" (该方法运算量大,一般不适用于阶数较高的矩阵求逆矩阵);

(3)初等变换法,即(A : E)→(E :A-1);

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