高中不等式的基本性质:(一)对称性。(二)传递性。(三)加法单调性,即同向不等式可加性。(四)乘法单调性。(五)同向正值不等式可乘性。(六)正值不等式可乘方。(七)正值不等式可开方。(八)倒数法则。
1.如果x>y,那么y<x;如果y<x,那么x>y;(对称性)
2.如果x>y,y>z;那么x>z;(传递性)
3.如果x>y,而z为任意实数或整式,那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减去同一个整式,不等号方向不变;
4.如果x>y,z>0,那么xz>yz ,即不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的整式,不等号方向不变;
5.如果x>y,z<0,那么xz<yz, 即不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0的整式,不等号方向改变;
6.如果x>y,m>n,那么x+m>y+n;
7.如果x>y>0,m>n>0,那么xm>yn;
8.如果x>y>0,那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数),x的n次幂<y的n次幂(n为负数)。
或者说,不等式的基本性质的另一种表达方式有:
①对称性;
②传递性;
③加法单调性,即同向不等式可加性;
④乘法单调性;
⑤同向正值不等式可乘性;
⑥正值不等式可乘方;
⑦正值不等式可开方;
⑧倒数法则。
如果由不等式的基本性质出发,通过逻辑推理,可以论证大量的初等不等式。
数学中有一些常用的不等式,它们形式优美且有重要的应用价值。
1、均值不等式:对任意的正整数n>1,正数的算术平均数不小于几何平均数。
2、伯努利不等式:对任意的正整数n>1,以及任意的x>-1,有
证明:采用数学归纳法:n=1时,不等式明显成立,我们假设当n=k-1时,不等式成立,那么
3、绝对值不等式:a、b是实数,则
4、二项式展开式,可以用来放大缩小数列,求极限
此外还有很多难些的不等式,例如数学分析到泛函分析里最最重要的一些不等式:柯西-施瓦茨不等式、Jesen不等式、赫尔德(Holder)不等式、闵可夫斯基(Minkowski)不等式、Hilbert空间的贝塞尔不等式,Poincare不等式(变分学中非常重要的不等式)等等。