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伴随矩阵的特征值

2024-05-21

文/周宝侠

伴随矩阵的特征值是一个矩阵行列式等于其所有特征值之积的值，是矩阵的基本特征之一。特征值可以衡量矩阵的重要性和描述其性质，可以用于矩阵分解、矩阵相似和矩阵求逆等计算中。在实际应用中，伴随矩阵的特征值可以用于解决线性方程组的问题。

伴随矩阵特征值的推导方式

伴随矩阵的特征具体来说，如果λ是A的一个特征值，那么A*的特征值是|A|/λ，其中|A|是A的行列式。如果0是矩阵A的一个特征值，那么0也是A的一个特征值。如果k是矩阵A的一个非零特征值，那么存在一个非零向量x，使得Ax=(|A|/k)x，因此|A|/k是A*的一个特征值。

伴随矩阵的逆矩阵与原矩阵的逆矩阵之间的关系也影响了特征值的计算。如果A是可逆的，那么A的逆矩阵的特征值是A的特征值的倒数，因此A*的特征值是|A|除以A的任何特征值。

伴随矩阵的特征向量可以通过将原矩阵的特征向量乘以行列式除以特征值得出。

伴随矩阵特征值拓展

1、按照伴随矩阵的定义，一阶矩阵的伴随矩阵没有定义。因为一个空矩阵的行列式（一阶矩阵(1,1)项的的余子式是空的）没有定义。

2、伴随矩阵的特征值与原矩阵的特征值的关系用A·A*=|A|·E,然后分类讨论，当A为可逆矩阵时，两边乘以A^(-1),A的逆的特征值就是A的特征值a的倒数，因此A*的特征值就是|A|/a,当A的秩为n-1时，A*的秩为1，因此它有0特征值n-1重，还有一个非0特征值，符号比较难打，就不具体算了()通过矩阵的运算，可以把它算出来)，当矩阵A的秩小于n-1时，则A*为0矩阵，特征值全为0。

3、伴随矩阵的特征值如果0是矩阵A的一个特征值，则0也是伴随矩阵A*的一个特征值；如果k是矩阵A的一个非零特征值，则存在非零向量a: Aa=ka则 A*Aa=kA*a |A|a=kA*a A*a=(|A|/k)a可见 |A|/k 是A*的一个特征值。