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y=xcosx是周期函数吗

2019-12-02

文/听风

专题:周期周期函数函数 cos

y=xcosx不是周期函数。对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数。

证明

证明：假设y=xcosx是周期函数,

因为周期函数有f(x+T)=f(x)

xcosx=（x+T)cos(x+T)=xcosx*cosT-xsinx*sinT+Tcosx*cosT-Tsinx*sinT

所以cosT=1T=kπ/2

-xsinx*sinT+Tcosx*cosT-Tsinx*sinT=0

-xsinx*sinT-Tsinx*sinT=0

(x+T)sinx*sinT=0

只能是sinT=0，T=kπ和T=kπ/2矛盾

所以不是周期函数。

周期函数

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。

定义

设f（x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f（x+T）=f（x），则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。