射影定理公式

文/蓝馨瑶

在△ABC中,设∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则有:a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA,这三个式子叫做射影定理。

射影定理内容

AB²=AD·AC,BC²=CD·CA

两式相加得:

AB²+BC²=AD·AC+CD·AC=(AD+CD)·AC=AC²(即勾股定理)。

注:AB²的意思是AB的2次方。

射影定理证明

已知:三角形中角A=90度。AD是高。

证明1:设点A在直线BC上的射影为点D,则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD,且BD=c·cosB,CD=b·cosC,∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB 同理可证其余。

证明2:由正弦定理,可得:b=asinB/sinA,c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可证其余。

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