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周期函数的导函数是周期函数吗

2020-11-20

文/小贪心

是周期函数，而且与原函数的周期相等。周期函数是指f(x)=f(x+t)，对定义域内的x，t是其周期，则f'(x)=lim((f(x+Δx)-f(x))/Δx)=lim((f(x+t+Δx)-f(x+t))/Δx)=f'(x+t)，所以f'(x)也是以t为周期的周期函数。

周期函数概念

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。

周期函数的原函数不一定是周期函数

证明如下：

设f(x)=f(x+T) T为周期

∫f(x)dx=∫f(x+T)dx=∫f(x+T)d(x+T)

F(x)=F(x+T) 周期函数

f(x)为周期函数，f(x)=f(x+T)

f(x)+a=f(x+T)+a

所以f(x)+a也是周期函数

∫[f(x)+a]dx=F(x)+ax

F(x)是周期函数，如果a≠0,F(x)+ax就不是周期函数。

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。