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平面向量的数量积和几何意义

2021-02-28

文/听风

一、平面向量的数量积和几何意义

1、向量的夹角

已知两个非零向量$\boldsymbol a$和$\boldsymbol b$，作$\overrightarrow{OA}=$$\boldsymbol a$，$\overrightarrow{OB}=$$\boldsymbol b$，则$∠AOB=θ$（$0°\leqslant θ\leqslant 180°$）叫做向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$的夹角。

当$θ=0°$时，向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$共线且同向；

当$θ=90°$时，向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$相互垂直，记作$\boldsymbol a⊥\boldsymbol b$；

当$θ=180°$时，向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$共线且反向。

注：（1）向量的夹角是针对非零向量定义的。

（2）只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角。

2、平面向量的数量积

已知两个非零向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$，我们把数量$|\boldsymbol a||\boldsymbol b|·\cos θ$叫做$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$的数量积（或内积），记作$\boldsymbol a·\boldsymbol b$，即$\boldsymbol a·\boldsymbol b=$$|\boldsymbol a||\boldsymbol b|·\cos θ$，其中$θ$是$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$的夹角。

两个向量夹角的取值范围是$[0°,180°]$，零向量与任一向量的数量积为0。

数量积的几何意义

数量积$\boldsymbol a$·$\boldsymbol b$等于$\boldsymbol a$的长度$|\boldsymbol a|$与$\boldsymbol b$在$\boldsymbol a$的方向上的投影$|\boldsymbol b|\cos θ$的乘积。

注：①投影和两个向量的数量积都是数量，不是向量。当$θ$为锐角时投影为正值；当$θ$为钝角时投影为负值；当$θ$为直角时投影为0；当$θ=0°$时投影为$|\boldsymbol b|$；当$θ=180°$时投影为$-|\boldsymbol b|$。

② $\boldsymbol b$在$\boldsymbol a$方向上的投影可以记为$|\boldsymbol b|\cos θ$，也可记为$\frac{\boldsymbol a·\boldsymbol b}{|\boldsymbol a|}$。

二、平面向量的数量积的相关例题

已知$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$均为单位向量，若$|\boldsymbol a-2\boldsymbol b|=\sqrt{3}$，则向量$|\boldsymbol a|$与$|\boldsymbol b|$的夹角为___

A．$\frac{π}{6}$ B．$\frac{π}{3}$ C．$\frac{2π}{3}$ D．$\frac{5π}{6}$

答案：B

解析：由$|\boldsymbol a-2\boldsymbol b|=\sqrt{3}$得$(\boldsymbol a-2\boldsymbol b)^2=3$，即$\boldsymbol a^2+$$4b^2-$$4\boldsymbol a·\boldsymbol b=$3，设单位向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$的夹角为$θ$，则有1+4-4$\cos θ$=3，解得$\cos θ=\frac{1}{2}$，又$θ∈[0,π]$，所以$θ=\frac{π}{3}$，故选B。