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平面向量的数乘和运算律

2021-02-28

文/欲食巨坟

一、平面向量的数乘和运算律

1、向量的加法

求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

注：向量的和仍是一个向量；对于零向量与任一向量$\boldsymbol a$，有$\boldsymbol 0+\boldsymbol a=\boldsymbol a+\boldsymbol 0=\boldsymbol a$，即任意向量与零向量的和为其本身。

①常用结论

当$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$同向时，$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|=|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|$。

当$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$反向或$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$中至少有一个为$\boldsymbol 0$时，$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|=$$|\boldsymbol a|-|\boldsymbol b|$（或$|\boldsymbol b|-|\boldsymbol a|$）。

②向量加法的运算律

交换律：$\boldsymbol a+\boldsymbol b=\boldsymbol b+\boldsymbol a$。

结合律：$(\boldsymbol a+\boldsymbol b)+\boldsymbol c=\boldsymbol a+(\boldsymbol b+\boldsymbol c)$。

2、向量的减法

求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

注：减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，两个向量的差仍是向量。

常用结论

$-(-\boldsymbol a)=\boldsymbol a$，$\boldsymbol a+(-\boldsymbol a)=(-\boldsymbol a)+\boldsymbol a=\boldsymbol 0$，$\boldsymbol a-\boldsymbol b=\boldsymbol a+(-\boldsymbol b)$。

3、向量的数乘

一般地，我们规定实数$λ$与向量$\boldsymbol a$的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作$λ\boldsymbol a$。它的长度与方向规定如下：

① $|λ\boldsymbol a|=|λ||\boldsymbol a|$。

② 当$λ=0$时，$λ\boldsymbol a=0$；当$λ<0$时，$λ\boldsymbol a$的方向与$\boldsymbol a$的方向相反；当$λ>0$时，$λ\boldsymbol a$的方向与$\boldsymbol a$的方向相同。

向量数乘运算的结果仍是向量。实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如$λ+\boldsymbol a$，$λ-\boldsymbol a$无意义。

向量数乘的运算律

设$λ$，$μ$为实数，则有：

$λ(μ\boldsymbol a)=(λμ)\boldsymbol a$（结合律）。

$(λ+μ)\boldsymbol a=λ\boldsymbol a+μ\boldsymbol a$（第一分配律）。

$λ(\boldsymbol a+\boldsymbol b)=λ\boldsymbol a+λ\boldsymbol b$（第二分配律）。

特别地，我们有：

$(-λ)\boldsymbol a=-(λ\boldsymbol a)=λ(-\boldsymbol a)$。

$λ(\boldsymbol a-\boldsymbol b)=λ\boldsymbol a-λ\boldsymbol b$。

4、向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$以及任意实数$λ$，$μ_1$，$μ_2$，恒有$λ(μ_1\boldsymbol a±μ_2\boldsymbol b)=$$λμ_1\boldsymbol a±λμ_2\boldsymbol b$。

二、平面向量的数乘的相关例题

已知$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$均为单位向量，若$|\boldsymbol a-2\boldsymbol b|=\sqrt{3}$，则向量$|\boldsymbol a|$与$|\boldsymbol b|$的夹角为___

A．$\frac{π}{6}$ B．$\frac{π}{3}$ C．$\frac{2π}{3}$ D．$\frac{5π}{6}$

答案：B

解析：由$|\boldsymbol a-2\boldsymbol b|=\sqrt{3}$得$(\boldsymbol a-2\boldsymbol b)^2=3$，即$\boldsymbol a^2+$$4b^2-$$4\boldsymbol a·\boldsymbol b=$3，设单位向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$的夹角为$θ$，则有1+4-4$\cos θ$=3，解得$\cos θ=\frac{1}{2}$，又$θ∈[0,π]$，所以$θ=\frac{π}{3}$，故选B。