排列数公式和性质

一、排列数公式和性质

1、排列数

从$n$个不同元素中取出$m(m\leqslant n)$个元素的所有不同排列的个数叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的排列数，用符号${\rm A}^m_n$表示。

2、排列数公式

① 排列数公式：${\rm A}^m_n=$$n(n-1)(n-2)$$\cdots$$(n-m+1)$，$n,m∈\mathbf{N}^*$，并且$m\leqslant n$。

② 全排列：$n$个不同元素全部取出的一个排列，叫做$n$个元素的一个全排列，这时在排列数公式中$m=n$，既有${\rm A}^m_n=$$n×(n-1)×(n-2)×$$\cdots×$$3×2×1$。

3、阶乘：正整数1到$n$的连乘积，叫做$n$的阶乘，用$n!$表示。

全排列公式${\rm A}^n_n=n!$，规定$0!=1$。

4、排列数公式的阶乘表示

${\rm A}^m_n=\frac{n!}{(n-m)!}=\frac{{\rm A}^n_n}{{\rm A}^{n-m}_{n-m}}$。

（5）排列数的性质

性质1：${\rm A}^m_n=n{\rm A}^{m-1}_{n-1}$。

性质2：${\rm A}^m_n=m{\rm A}^{m-1}{n-1}+{\rm A}^m{n-1}$。

二、排列数公式的相关例题

已知从$n$个不同元素中取出2个元素的排列数等于从$(n- 4)$个不同元素中取出2个元素的排列数的7倍，则$n$的值为___

A．5 B．6 C．7 D．8

答案：C

解析：因为${\rm A}^2_n=7{\rm A}^2_{n-4}$，则$n×(n-1)=$$7×(n-4)(n-5)$，整理得$(3n-10)(n-7)=0$，因为$n∈\mathbf{N}^*$，解得$n=7$，故选C。

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