等比中项的定义

一、等比中项的定义

如果在$a$与$b$中间插入一个数$G（G≠0）$，使$a$，$G$，$b$成等比数列，那么$G$叫做$a$与$b$的等比中项。

若$G$是$a$与$b$的等比中项，则$\frac{G}{a}=\frac{b}{G}$，即$G^2=ab$，$G=±\sqrt{ab}$。

注：（1）只有非零同号的两数才有等比中项，并且等比中项有两个，它们互为相反数。（2）在等比数列$\{a_n\}$中，从第2项起，每一项（有穷等比数列末项除外）是前一项与后一项的等比中项，即$a^2_n=a_{n+1}a_{n-1}(n\geqslant2，n∈\mathbf{N}^*)$。

提示：（1）任意两个数都有等差中项，但不一定有等比中项。只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项。

（2）两个数$a$，$b$的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等比中项有两个。

二、等比中项的相关例题

已知正项等比数列$\begin{Bmatrix}\dfrac{a_n}{n+2}\end{Bmatrix}$，第1项与第9项的等比中项为$\left(\frac{7}{8}\right)^5$，则$a_5=$___

A．$\frac{7^5}{8^5}$ B．$\frac{7^5}{8^6}$C．$\frac{7^6}{8^5}$D．$\frac{7^6}{8^6}$

答案：C

解析：正项等比数列$\begin{Bmatrix}\dfrac{a_n}{n+2}\end{Bmatrix}$，第1项与第9项的等比中项为$\left(\frac{7}{8}\right)^5$，故得到故$\frac{a_1}{3}·\frac{a_9}{11}=$$\left(\frac{a_5}{7}\right)^2=$$\left(\frac{7}{8}\right)^{10}\Rightarrow$$a_5=\frac{7^6}{8^5}$。故选C。

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