等比数列的性质

文/卡徒

一、等比数列的性质

设$\{a_n\}$是公比为$q$的等比数列,那么

(1)数列$\{a_n\}$是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等,且等于首末两项之积,即$a_1a_n=a_2a_{n-1}=a_3a_{n-2}=$$\cdots=$$a_ma_{n-m+1}$。

(2)若$m$,$n$,$p$$(m,n,p∈\mathbf{N}^*)$成等差数列,则$a_m$,$a_n$,$a_p$成等比数列,即$a^2_n=a_ma_p$。

(3)若$m+n=p+q(m,n,p,q∈\mathbf{N}^*)$,则$a_ma_n=a_pa_q$。特别地,若$m+n=2p$,则$a_ma_n=a^2_p$。

(4)数列$\{λa_n\}$($λ$为不等于0的常数)仍是公比为$q$的等比数列;

数列$\begin{Bmatrix}\dfrac{1}{a_n}\end{Bmatrix}$是公比为$\frac{1}{q}$的等比数列;

数列$\{|a_n|\}$是公比为$|q|$的等比数列;

若数列$\{b_n\}$是公比为$q^′$的等比数列,则数列$\{a_n·b_n\}$是公比为$q·q^′$的等比数列。

(5)当数列$\{a_n\}$是各项都为正数的等比数列时,数列$\{\lg a_n\}$是公差为$\lg q$的等差数列。

(6)在数列$\{a_n\}$中,连续相邻$k$项的和或积构成公比为$q^k$或$q^{k^2}$的等比数列(相邻$k$项的和都不为0)。

(7)在数列$\{a_n\}$中,每隔$k(k∈\mathbf{N}^*)$项取出一项,按原来的顺序排列,所得数列仍为等比数列,且公比为$q^{k+1}$。

二、等比数列的性质的相关例题

已知数列$\{a_n\}$,若$a_1=2$,$a_{n+1}+a_n=2n+1$,则$a_{2021}=$____

A.2 019 B.2 020

C.2 021 D.2 022

答案:D

解析:∵$a_{n+1}+a_n=2n+1$,∴$a_{n+1}-(n+1)=-(a_n-n)$,即数列$\{a_n-n\}$是以1为首项,-1为公比的等比数列,∴$a_n-n=(-1)^{n-1}$,∴$a_n=n+(-1)^{n-1}$,∴$a_{2021}=2\ 021+1=2\ 022$,故选D。

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