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指数函数的概念和结构特征

2021-02-28

文/水上君子

专题:指数指数函数概念结构特征数的函数

一、指数函数的概念和结构特征

1、定义：一般地，函数$y=a^x$（$a>0$，且$a≠1$）叫做指数函数，其中$x$是自变量，函数的定义域是$\mathbf{R}$。

2、结构特征

（1）底数：$a$是大于0，且不等于1的常数。

（2）指数：自变量$x$。

（3）系数：$a^x$的系数为1。

3、指数函数的性质

指数函数$y=a^x$

（1）当$0<a<1$时

①定义域为$\mathbf{R}$；

②值域为$（0,+∞）$；

③性质：恒过定点$（0,1）$，即$x=0$时，$y=1$；

在$\mathbf{R}$上是减函数；当$x>0$时，$0<y<1$；当$x=0$时，$y=1$；当$x<0$时，$y>1$。

（2）当$a>1$时

①定义域为$\mathbf{R}$；

②值域为$（0,+∞）$；

③性质：恒过定点$（0,1）$，即$x=0$时，$y=1$；

在$\mathbf{R}$上是增函数；当$x>0$时，$y>1$；当$x=0$时，$y=1$；当$x<0$时，$0<y<1$。

4、底数对图象的影响

（1）由指数函数$y=a^x$与直线$x=1$相交于点$(1，a)$可知：在$y$轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大。

（2）由指数函数$y=a^x$与直线$x=-1$相交于点$\left(-1，\frac{1}{a}\right)$可知：在$y$轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小。

（3）指数函数的底数与图象间的关系可概括的记忆为：在$y$轴右边“底大图高”；在$y$轴左边“底大图低”。

5、指数函数具有反函数，其反函数是对数函数。

二、指数函数的概念的相关例题

下列函数不是指数函数的是____

A．$y=2^{x+1}$

B．$y=3^{-x}$

C．$y=4^x$

D．$y=2^{3x}$

答案：A

解析：指数函数是形如$y=a^x ( a>0$且$a≠1$ )的函数。对于A：$y=2^{x+1}=2×2^x$，系数不是1，所以不是指数函数；对于B：$y=3^{-x}=\left(\frac{1}{3}\right)^x$，符合指数函数的定义，所以是指数函数；对于C：$y=4^x$，符合指数函数的定义，所以是指数函数；对于D：$y=2^{3x}=8^x$，符合指数函数的定义，所以是指数函数。故选A。