相等函数的定义域和值域

文/玲玲

一、相等函数的定义域和值域

1、如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等。

2、定义域

函数的定义域是自变量$x$的取值集合,它是函数的重要组成部分。

求函数定义域的注意事项

(1)分式的分母不为0;

(2)偶次根式的被开方数大于等于0;

(3)零次幂的底数不为0;

(4)实际问题中自变量的取值范围;

(5)多个式子构成的函数,其定义域要满足每个式子都有意义。

3、值域

(1)函数的值域是在对应关系$f$的作用下,自变量$x$在定义域内取值时相应的函数值组成的集合。

(2)求函数值域的注意事项

①当函数$y=f(x)$用表格给出时,函数的值域是表格中实数$y$的集合。

②当函数$y=f(x)$用图象给出时,函数的值域是图象在$y$轴上的投影所覆盖的实数$y$的集合。

③当函数$y=f(x)$用解析式给出时,函数的值域由函数定义域及对应关系唯一确定。

④当函数$y=f(x)$根据实际问题给出时,函数的值域受问题的实际意义限制。

二、相等函数的例题

下列函数中和函数$y=x$互为相等函数的是___

A.$y=\sqrt{x^2}$

B.$y=(\sqrt{x})^2$

C.$y=\frac{x^2}{x}$

D.$y=\ln {\rm e}^x$

答案:D

解析:函数$y=x$定义域为$\mathbf{R}$。

A.$y=\sqrt{x^2}=|x|$,表达式不同,不是相等函数;B.$y=(\sqrt{x})^2$,定义域为$[0,+∞)$ ,定义域不相同,不是相等函数;C.$y=\frac{x^2}{x}$,定义域为$(-∞,0)∪(0,+∞)$,定义域不相同,不是相等函数;D.$y=\ln {\rm e}^x=x$,定义域为$\mathbf{R}$,定义域和表达式都相同,是相等函数。故选D。

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