不等式的基本性质和其他性质

文/南瓜

一、不等式的基本性质和其他性质

1、不等式的基本性质

(1)对称性:$a>b\Leftrightarrow b<a$,$a<b\Leftrightarrow b>a$。

(2)传递性:$a>b$,$b>c\Rightarrow a>c$;$c<b$,$b<a\Rightarrow c<a$。

(3)可加性:$a>b\Leftrightarrow a+c>b+c$。

推论:(移项法则)$a+b>c\Leftrightarrow a>c-b$。

(4)同向可加性:$a>b$,$c>d\Rightarrow a+c>b+d$。

(5)可乘性:$a>b$,$c>0\Rightarrow ac>bc$。

(6)同向同正可乘性:$a>b>0$,$c>d>0\Rightarrow ac>bd$。

(7)可乘方性:$a>b>0\Rightarrow a^n>b^n(n∈\mathbf{N}$,$n≥1)$。

(8)可开方性:$a>b>0\Rightarrow \sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}$。

2、不等式的其他性质

(1)倒数性质

① $a>b$,$ab>0\Rightarrow \frac{1}{a}<\frac{1}{b}$;

② $a<0<b\Rightarrow \frac{1}{a}<\frac{1}{b}$;

③ $a>b>0$,$0<c<d\Leftrightarrow \frac{a}{c}>\frac{b}{d}$。

(1)分数性质

若$a>b>0$,,$m>0$,则

① 真分数性质:$\frac{b}{a}<\frac{b+m}{a+m}$;$\frac{b}{a}>\frac{b-m}{a-m}(b-m>0)$。

② 假分数性质:$\frac{a}{b}>\frac{a+m}{b+m}$;$\frac{a}{b}<\frac{a-m}{b-m}(b-m>0)$。

二、不等式的性质的相关例题

有四个不等式:① $|a|>|b|$;② $a<b$;③ $a +b<ab$;④ $a^3>b^3$,若$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}<0$,则不正确的不等式的个数是A.0 B.1 C.2 D.3

答案:C

解析:由$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}<0$,得$b<a<0$,从而$|a|<|b|$,① 不正确;$a>b$,② 不正确;$a +b<0$,$ab>0$,则$a+b<ab$成立,③ 正确;$a^3>b^3$,④正确。故不正确的不等式的个数为2,故选C。

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