补集的定义和性质

文/赵乐玮

一、补集的定义和性质

1、定义

全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作$U$。

补集:对于一个集合$A$,由全集$U$中不属于集合$A$的所有元素组成的集合称为集合$A$相对于全集$U$的补集,简称为集合$A$的补集,记作$\complement _UA$,即$\complement _UA={x|x∈U$,且$x\notin A}$。

2、补集的性质

$A∪\complement _UA=U$(一个集合与其补集的并集是全集)

$A∪\complement _UA=\varnothing$(一个集合与其补集的交集是空集)

$\complement _U\left( \complement _UA\right)=A$(一个集合的补集的补集是其本身)

$\complement _UU=\varnothing$(全集的补集是空集)

$\complement _U\varnothing=U$(空集的补集是全集)

$A\subseteq B\Leftrightarrow\left( \complement _UA\right)\supseteq\left( \complement _UB\right)$(在同一全集中,任何集合的补集是其自己的补集的子集)

若$A=B$,则$\complement _UA=\complement _UB$(在同一全集中,相等集合的补集也相等)

二、补集的相关例题

已知集合$U={1,2,3,4}$,集合$A={1,2}$,$B={2,3}$,则$\complement _U(A∪B)$=

A.${1,3,4}$

B.${3,4}$

C.${3}$

D.${4}$

答案:D

解析: 由题得$A∪B={1,2,3}$,$∴\complement _U(A∪B)={4}$,故选D。

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