实数的性质和运算

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一、实数的性质和运算

1、实数

有理数和无理数统称为实数。

2、实数的性质

(1)数$a$的相反数是$-a$,这里$a$表示任意一个实数。

(2)一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。即设$a$表示一个实数,则

$|a|=\begin{cases}a,当a>0时;\0,当a=0时;\-a,当a<0时。\end{cases}$

(3)实数$a$的倒数为$\frac{1}{a}$$(a≠0)$,若$a$与$b$互为倒数,则$ab=1$;若$ab=1$,则$a$与$b$互为倒数。

3、实数的运算

当数从有理数扩充到实数以后,实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,而且正数及0可以进行开平方运算,任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等同样适用。

4、比较实数大小的常见方法

(1)把根号外的正数平方后移入根号内,由被开方数的大小比较根式的大小;对于符号相同的两个根式,利用乘方法来比较大小。如:同是正号的两个平方根式,平方后大的根式,原根式也大;同是负号的两个平方根式,平方后大的根式,原根式反而小。

(2)作差法比较:若$a-b>0$,则$a>b$;若$a-b<0$,则$a<b$。

(3)对于符号相同的两个实数,还可利用取倒数法来比较大小,即若$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}>0$,则$a<b$;若$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}<0$,则$a>b$。

二、实数的性质的相关例题

下列说法中正确的有___

①互为相反数的两个数的绝对值相等;

②正数和零的绝对值都等于它本身;

③只有负数的绝对值是它的相反数;

④一个数的绝对值的相反数一定是负数。

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

答案:B

解析:① ∵互为相反数的两个数相加,和为0,移项后两边加上绝对值是相等的,∴互为相反数的两个数的绝对值相等,故①正确;② ∵任何一个有理数的绝对值都大于等于0,∴正数和零的绝对值都等于它本身,故②正确;③ ∵$|0|=0$,0的相反数是0,∴③错误;④ ∵$|0|=0$,0的相反数是0,0不是负数,∴④错误。故选B。

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