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反比例函数的性质和定义

2021-03-11

文/鏉庡潖

专题:反比例函数性质定义数的比例函数

一、反比例函数的性质和定义

1、反比例函数

一般地，形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数，叫做反比例函数，其中$x$是自变量，$y$是函数。自变量$x$的取值范围是不等于0的一切实数。

2、反比例函数$y=\frac{k}{x}$需注意以下几点：

（1）$k$为常数，$k≠0$。

（2）自变量$x$的取值范围是$x≠0$的一切实数。

（3）$y$的取值范围是$y≠0$的一切实数。

3、反比例函数的图象与性质

反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的图象是双曲线。

（1）当$k>0$时

图象位于一、三象限；在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。

（2）当$k<0$时

图象位于二、四象限；在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。

4、反比例函数$k$的几何意义

（1）矩形的面积

过双曲线上任意一点$P$作$x$轴，$y$轴的垂线$PM$，$PN$，垂足分别为$M$，$N$，所得矩形$PMON$的面积$S=PM·PN=$$|y|·|x|=$$|xy|$，又因为$y=\frac{k}{x}$，所以$xy=k$，所以$S=|k|$，即过双曲线上任意一点$P$作$x$轴，$y$轴的垂线$PM$，$PN$，所得矩形$PMON$的面积为$|k|$。

（2）三角形的面积

过双曲线上任意一点$E$作$EF$垂直$y$轴于点$F$，连接$EO$，则$S_{△EOF}=\frac{|k|}{2}$，即过双曲线上任意一点作其中一条坐标轴的垂线，连接这个点与原点，所得三角形的面积为$\frac{|k|}{2}$。

5、反比例函数的对称性

反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形。其对称轴为直线$y=x$和$y=-x$，对称中心为原点。

6、反比例函数解析式的确定

反比例函数$y=\frac{|k|}{x}$$(k≠0)$中，只有一个待定系数$k$，因此只需给出一组$x$，$y$的对应值或图象上一点的坐标，代入解析式中求出$k$，即可确定反比例函数的解析式。

二、反比例函数的性质的相关例题

已知反比例函数$y=-\frac{8}{x}$，下列结论：① 图象必经过$(-2，4)$；② 图象在第二、四象限内；③ $y$随$x$的增大而增大；④ 当$x>-1$时，$y>8$。其中错误的结论有___

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

答案：B

解析：当$x=-2$时，$y=-\frac{8}{-2}=4$，所以图象经过$(-2,4)$，故①正确;$k=- 8<0$，所以反比例函数的图象在第二、四象限内，故②正确；$k=-8<0$，双曲线在每一象限内$y$随$x$的增大而增大，故③错误；当$-1<x<0$时，$y>8$，当$x>0$时，$y<0$，故④错误，所以错误的结论有2个。故选B。