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平均数问题及平均数的定义

2021-03-14

文/路人甲

一、平均数问题及平均数的定义

1、平均数

一般地，对于$n$个数$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$，我们把$\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)$叫做这$n$个数的算术平均数，简称平均数，记作“$\overline{x}$”，读作“$x$拔”。

2、算术平均数的特点

（1）平均数、数的个数以及所有数的总和这三个量中，已知任意两个就能求出第三个，平均数=$\displaystyle{}\frac{所有数的总和}{数的个数}$。

（2）平均数是描述一组数据的一种常用指标。一组数据的平均数只有一个。

（3）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会引起平均数的变动。平均数容易受个别极端值影响。

（4）若数据$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$的平均数为$\overline{x}$，则$x_1±a$，$x_2±a$，$\cdots$，$$x_n±a$$的平均数为$\overline{x}±a$；$kx_1$，$kx_2$，$\cdots$，$kx_n$的平均数为$k\overline{x}$（$a$，$k$为常数）。（5）总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，样本中所有个体的平均数叫做样本平均数，通常用样本平均数去估计总体平均数。

3、加权平均数

当一组数据中有数据重复出现时，如在$n$个数据中，$x_1$出现$f_1$次，$x_2$出现$f_2$次，$\cdots$，$x_k$出现$f_k$次（这里$f_1+f_2+\cdots+f_k=n$），那么这$n$个数据的平均数可表示为$\frac{x_1f_1+x_2f_2+\cdots+x_kf_k}{n}$，这个平均数也叫做加权平均数，其中$f_1$，$f_2$，$\cdots$，$f_k$分别叫做$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_k$的权。或者，若$n$个数$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$的权分别是$w_1$，$w_2$，$\cdots$，$w_n$，则$\frac{x_1w_1+x_2w_2+\cdots+x_nw_n}{w_1+w_2+\cdots+w_n}$叫做这$n$个数的加权平均数。

4、加权平均数的特点

（1）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式。

（2）若各个数据的权相同，则加权平均数就是算术平均数，因而可以看出算术平均数实质上是加权平均数的一种特例。

（3）算术平均数是用一组数据的和除以数据的个数来计算的；加权平均数在计算上与算术平均数有所不同，是因为在实际问题中数据的“重要程度”未必相同，即各个数据的“权”未必相同。

二、平均数问题的相关例题

已知一组数据为：10，8，10，12，10，其中中位数、平均数和众数的大小关系是

A．众数=中位数=平均数

B．中位数<众数<平均数

C．平均数>中位数>众数

D．平均数<中位数<众数

答案：A

解析：（10+8+10+12+10）÷5=50÷5=10，这组数据的平均数是10；把这组数据从大到小排列如下：8，10，10，10，12，这组数据的中位数是10；这组数据中10出现次数最多， 10是这组数据的众数；即众数=中位数=平均数。故选A。