导数的几何意义

文/未了情

导数的几何意义:对于可导函数,利用割线无限逼近切线,而割线斜率的极线即为切线的斜率。

导数

几何意义

导数第一定义

设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在x0处有增量△x(x0+△x也在该邻域内)时相应地函数取得增量△y=f(x0+△x)-f(x0),如果△y与△x之比当△x→0时极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导并称这个极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数,记为f'(x0),即导数第一定义。

导数第二定义

设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在x0处有变化,△x(x-x0也在该邻域内)时相应地函数变化△y=f(x)-f(x0)。如果△y与△x之比当△x→0时极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导并称这个极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数记为f'(x0),即导数第二定义。

导函数与导数

如果函数y=f(x)在开区间I内每一点都可导,就称函数f(x)在区间I内可导。这时函数y=f(x)对于区间I内的每一个确定的x值都对应着一个确定的导数,这就构成一个新的函数,称这个函数为原来函数y=f(x)的导函数记作y',f'(x),dy/dx,df(x)/dx。导函数简称导数。

一阶导数与二阶导数

简单来说,一阶导数是自变量的变化率,二阶导数就是一阶导数的变化率,也就是一阶导数变化率的变化率。连续函数的一阶导数就是相应的切线斜率。一阶导数大于0,则递增;一阶倒数小于0,则递减;一阶导数等于0,则不增不减。

而二阶导数可以反映图象的凹凸。二阶导数大于0,图象为凹;二阶导数小于0,图象为凸;二阶导数等于0,不凹不凸。

结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零,而二阶导数大于零时,为极小值点;当一阶导数等于零,而二阶导数小于零时,为极大值点;当一阶导数、二阶导数都等于零时,为驻点。

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