比较不等式大小的方法和不等式的基本性质

文/雨昙

一、比较不等式大小的方法和不等式的基本性质

1、不等式的基本性质

(1)对称性:$a>b\Leftrightarrow b<a$,$a<b\Leftrightarrow b>a$。

(2)传递性:$a>b$,$b>c\Rightarrow a>c$;$c<b$,$b<a\Rightarrow c<a$。

(3)可加性:$a>b\Leftrightarrow a+c>b+c$。

推论:(移项法则)$a+b>c\Leftrightarrow a>c-b$。

(4)同向可加性:$a>b$,$c>d\Rightarrow a+c>b+d$。

(5)可乘性:$a>b$,$c>0\Rightarrow ac>bc$。

(6)同向同正可乘性:$a>b>0$,$c>d>0\Rightarrow ac>bd$。

(7)可乘方性:$a>b>0\Rightarrow a^n>b^n(n∈\mathbf{N},n≥1)$。

(8)可开方性:$a>b>0\Rightarrow \sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}$。

2、不等式的其他性质

(1)倒数性质

① $a>b,ab>0\Rightarrow \frac{1}{a}<\frac{1}{b}$;

② $a<0<b\Rightarrow \frac{1}{a}<\frac{1}{b}$;

③ $a>b>0,0<c<d\Leftrightarrow \frac{a}{c}>\frac{b}{d}$。

(2)分数性质

若$a>b>0,m>0$,则

① 真分数性质:$\frac{b}{a}<\frac{b+m}{a+m}$;$\frac{b}{a}>\frac{b-m}{a-m}(b-m>0)$。

② 假分数性质:$\frac{a}{b}>\frac{a+m}{b+m}$;$\frac{a}{b}<\frac{a-m}{b-m}(b-m>0)$。

3、比较不等式大小的方法

(1)作差法

$a-b>0\Leftrightarrow a>b$;

$a-b<0\Leftrightarrow a<b$;

$a-b=0\Leftrightarrow a=b$。

(2)作商法

$b>0$时,$\frac{a}{b}>1\Leftrightarrow a>b$,$\frac{a}{b}=1\Leftrightarrow a=b$,$\frac{a}{b}<1\Leftrightarrow a<b$;

$b<0$时,$\frac{a}{b}>1\Leftrightarrow a<b$,$\frac{a}{b}=1\Leftrightarrow a=b$,$\frac{a}{b}<1\Leftrightarrow a>b$。

(3)函数性质法

利用指数函数$y=a^x$、对数函数的$y=\log^x_a$的单调性:$a>1$时单调递增;$0<a<1$时单调递减。

二、比较不等式大小的方法的相关例题

已知$a,b$为正实数,则下列关于$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}$与$\sqrt{a}+\sqrt{b}$的大小比较正确的是

A.$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}>\sqrt{a}+\sqrt{b}$

B.$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$

C.$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}≥\sqrt{a}+\sqrt{b}$

D.$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}≤\sqrt{a}+\sqrt{b}$

答案:C

解析:解法一:(作差法):

$\left(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\right)-(\sqrt{a}+\sqrt{b})=$$\left( \frac{a}{\sqrt{b}}-\sqrt{b}\right)+\left( \frac{b}{\sqrt{a}}-\sqrt{a}\right)=$$\frac{a-b}{\sqrt{b}}+\frac{b-a}{\sqrt{a}}=$$\frac{(a-b)(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{ab}}=$$\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{\sqrt{ab}}$。

$∵a,b$为正实数,$∴\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{\sqrt{ab}}≥0$,$∴\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}≥\sqrt{a}+\sqrt{b}$。

解法二:(作商法):$\frac{\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=$$\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=$$\frac{(\sqrt{a})^3+(\sqrt{b})^3}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=$$\frac{a+b-\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}=$$1+\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{\sqrt{ab}}≥1$。

$∵a>0,b>0$,$∴\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}>0$,$\sqrt{a}+\sqrt{b}>0$,$∴\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}≥\sqrt{a}+\sqrt{b}$。

解法三:(平方后作差):

$\left( \frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\right)^2=$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}+2\sqrt{ab},(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=$$a+b+2\sqrt{ab}$,

$∴\left( \frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\right)^2-(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=$$\frac{(a+b)(a-b)^2}{ab}$。

$∵a>0$,$b>0$,$∴\frac{(a+b)(a-b)^2}{ab}≥0$,

又$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}>0$,$\sqrt{a}+\sqrt{b}>0$,故$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}≥\sqrt{a}+\sqrt{b}$。

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