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比较不等式大小的方法和不等式的基本性质

2021-02-28

文/雨昙

专题:比较大小方法不等式基本性质等式小的

一、比较不等式大小的方法和不等式的基本性质

1、不等式的基本性质

（1）对称性：$a>b\Leftrightarrow b<a$，$a<b\Leftrightarrow b>a$。

（2）传递性：$a>b$，$b>c\Rightarrow a>c$；$c<b$，$b<a\Rightarrow c<a$。

（3）可加性：$a>b\Leftrightarrow a+c>b+c$。

推论：（移项法则）$a+b>c\Leftrightarrow a>c-b$。

（4）同向可加性：$a>b$，$c>d\Rightarrow a+c>b+d$。

（5）可乘性：$a>b$，$c>0\Rightarrow ac>bc$。

（6）同向同正可乘性：$a>b>0$，$c>d>0\Rightarrow ac>bd$。

（7）可乘方性：$a>b>0\Rightarrow a^n>b^n(n∈\mathbf{N},n≥1)$。

（8）可开方性：$a>b>0\Rightarrow \sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}$。

2、不等式的其他性质

（1）倒数性质

① $a>b，ab>0\Rightarrow \frac{1}{a}<\frac{1}{b}$；

② $a<0<b\Rightarrow \frac{1}{a}<\frac{1}{b}$；

③ $a>b>0，0<c<d\Leftrightarrow \frac{a}{c}>\frac{b}{d}$。

（2）分数性质

若$a>b>0，m>0$，则

① 真分数性质：$\frac{b}{a}<\frac{b+m}{a+m}$；$\frac{b}{a}>\frac{b-m}{a-m}(b-m>0)$。

② 假分数性质：$\frac{a}{b}>\frac{a+m}{b+m}$；$\frac{a}{b}<\frac{a-m}{b-m}(b-m>0)$。

3、比较不等式大小的方法

（1）作差法

$a-b>0\Leftrightarrow a>b$；

$a-b<0\Leftrightarrow a<b$；

$a-b=0\Leftrightarrow a=b$。

（2）作商法

$b>0$时，$\frac{a}{b}>1\Leftrightarrow a>b$，$\frac{a}{b}=1\Leftrightarrow a=b$，$\frac{a}{b}<1\Leftrightarrow a<b$；

$b<0$时，$\frac{a}{b}>1\Leftrightarrow a<b$，$\frac{a}{b}=1\Leftrightarrow a=b$，$\frac{a}{b}<1\Leftrightarrow a>b$。

（3）函数性质法

利用指数函数$y=a^x$、对数函数的$y=\log^x_a$的单调性：$a>1$时单调递增；$0<a<1$时单调递减。

二、比较不等式大小的方法的相关例题

已知$a，b$为正实数，则下列关于$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}$与$\sqrt{a}+\sqrt{b}$的大小比较正确的是

A．$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}>\sqrt{a}+\sqrt{b}$

B．$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$

C．$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}≥\sqrt{a}+\sqrt{b}$

D．$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}≤\sqrt{a}+\sqrt{b}$

答案：C

解析：解法一：（作差法）：

$\left(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\right)-(\sqrt{a}+\sqrt{b})=$$\left( \frac{a}{\sqrt{b}}-\sqrt{b}\right)+\left( \frac{b}{\sqrt{a}}-\sqrt{a}\right)=$$\frac{a-b}{\sqrt{b}}+\frac{b-a}{\sqrt{a}}=$$\frac{(a-b)(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{ab}}=$$\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{\sqrt{ab}}$。

$∵a，b$为正实数，$∴\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{\sqrt{ab}}≥0$，$∴\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}≥\sqrt{a}+\sqrt{b}$。

解法二：（作商法）：$\frac{\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=$$\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=$$\frac{(\sqrt{a})^3+(\sqrt{b})^3}{\sqrt{ab}（\sqrt{a}+\sqrt{b}）}=$$\frac{a+b-\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}=$$1+\frac{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^2}{\sqrt{ab}}≥1$。

$∵a>0，b>0$，$∴\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}>0$，$\sqrt{a}+\sqrt{b}>0$，$∴\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}≥\sqrt{a}+\sqrt{b}$。

解法三：（平方后作差）：

$\left( \frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\right)^2=$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}+2\sqrt{ab}，（\sqrt{a}+\sqrt{b}）^2=$$a+b+2\sqrt{ab}$，

$∴\left( \frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\right)^2-(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=$$\frac{(a+b)(a-b)^2}{ab}$。

$∵a>0$，$b>0$，$∴\frac{(a+b)(a-b)^2}{ab}≥0$，

又$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}>0$，$\sqrt{a}+\sqrt{b}>0$，故$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}≥\sqrt{a}+\sqrt{b}$。