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二元二次方程组的定义和两种类型

2021-03-01

文/艾萨拉

专题:二元二次方程方程组定义义和两种类型方程次方种类二次

一、二元二次方程组的定义和两种类型

1、二元二次方程组

在初等代数中，通常把由两个未知数的一个二次方程和一个次数不超过二次的方程所组成的方程组叫做二元二次方程组。

2、二元二次方程组可分成两种类型：

第一类型是由一个二次方程和一个一次方程所组成的方程组，它的一般形式可写成：

$\begin{cases}F_1(x,y)=a_1x^2+b_1xy+c_1y^2+d_1x+e_1y+ f_1=0，\\F_2(x,y)=d_2x+e_2y+f_2=0，\end{cases}$

其中$a_1，b_1，c_1$不全为零，$d_2$和$e_2$也不全为零。

第二类型是由两个二次方程所组成的方程组，它的一般形式可写成：

$\begin{cases}F_1(x,y)=a_1x^2+b_1xy+c_1y^2+d_1x+e_1y+f_1=0，\\F_2(x,y)=a_2x^2+b_2xy+c_2y^2+d_2x+e_2y+f_2=0，\end{cases}$

其中$a_1，b_1，c_1$不全为零，$d_2$和$e_2$也不全为零。

3、二元二次方程组的解法

对于上述第一类型的二元二次方程组，可用代入消元法，从而归结为解含一个未知数的一个二次方程；而对于第二类型的二元二次方程组，经过消元后一般将归结为一元四次方程，但对如下几种特殊情形还是可以用一次和二次方程的方法来求解的：

（1）存在数$m$和$n$，使$mF_1(x，y)+nF_2(x，y)$是一元方程；或是一次方程；或是可约。

（2）$F_1(x，y)$和$F_2(x，y)$均为对称多项式或反对称多项式。

二元二次方程组最多可能有四组解。用代入法解二元二次方程组计算量大，计算困难（尤其是解无理方程和一元四次方程），因此必须寻找更简便的方法。

二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。

二、二元二次方程组的相关例题

二元二次方程组$\begin{cases}x+y=3\\xy=-10\end{cases}$的解是___

A.$\begin{cases}x_1=-5\\y_1=2\end{cases}$，$\begin{cases}x_2=2\\y_2=-5\end{cases}$

B.$\begin{cases}x_1=5\\y_1=2\end{cases}$，$\begin{cases}x_2=2\\y_2=5\end{cases}$

C.$\begin{cases}x_1=5\\y_1=-2\end{cases}$，$\begin{cases}x_2=-2\\y_2=5\end{cases}$

D.$\begin{cases}x_1=-5\\y_1=-2\end{cases}$，$\begin{cases}x_2=-2\\y_2=-5\end{cases}$

答案：C

解析：由题意可知：$x、y$是一元一次方程$a^2$-3$a$-10=0的两个根，∵$a^2$-3$a$-10=($a$-5)($a$+2)=0，∴$a_1$=5，$a_2$=-2，则不等式组的解为$\begin{cases}x_1=5\\y_1=-2\end{cases}$，$\begin{cases}x_2=-2\\y_2=5\end{cases}$，故选：C。