幂函数的性质和特征

文/鸥迹

一、幂函数的性质和特征

1、幂函数的概念

一般地,函数$y=a^x$叫做幂函数,其中$x$为自变量,$a$为常数。

2、幂函数的特征

(1)解析式右边是一个幂;

(2)系数为1;

(3)底数是自变量;

(4)指数是常数。

3、幂函数的性质

(1)$y=x$

定义域为$\mathbf{R}$;值域为$\mathbf{R}$;奇函数;在$\mathbf{R}$上单调递增;恒过定点$(1,1)$;幂函数在第四象限内无图象。

(2)$y=x^2$

定义域为$\mathbf{R}$;值域为$y\geqslant0$;偶函数;在$(-∞,0)$上单调递减,在$(0,+∞)$上单调递增;恒过定点$(1,1)$;幂函数在第四象限内无图象。

(3)$y=x^3$

定义域为$\mathbf{R}$;值域为$\mathbf{R}$;奇函数;在$\mathbf{R}$上单调递增;恒过定点$(1,1)$;幂函数在第四象限内无图象。

(4)$y=x^\frac{1}{2}$

定义域为$x\geqslant0$;值域为$y\geqslant0$;非奇非偶函数;在$(0,+∞)$上单调递增;恒过定点$(1,1)$;幂函数在第四象限内无图象。

(5)$y=x^{-1}$

定义域为$x≠0$;值域为$y≠0$;奇函数;在$(-∞,0)$和$(0,+∞)$上单调递减;恒过定点$(1,1)$;幂函数在第四象限内无图象。

二、幂函数的性质的相关例题

已知幂函数$f(x)=(t^2-t+1)·x^{\frac{7+3t-2t^2}{5}}(t∈\mathbf{N})$是偶函数,则实数$t$=___

A.0 B.-1或1

C.1 D.0或1

答案:C

解析:$∵f(x)=(t^2-t+1)·x^{\frac{7+3t-2t^2}{5}}$是幂函数,∴$t^2-t+1=1$,即$t^2-t=0$,解得$t=0$或$t=1$。当$t=0$时,$f(x)=x^\frac{7}{5}$是奇函数,不满足题意;当$t=1$时,$f(x)=x^\frac{8}{5}$是偶函数,满足题意,故选C。

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