直线的倾斜角和斜率

文/林子

一、直线的倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角

当直线$l$与$x$轴相交时,我们取$x$轴作为基准,$x$轴正向与直线$l$向上方向之间所成的角$α$叫做直线$l$的倾斜角。

当直线$l$与$x$轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为$0°$。因此,直线的倾斜角$α$的取值范围为$0°\leqslant α<180°$。

2、直线的斜率

把一条直线的倾斜角$α$的正切值叫做这条直线的斜率。斜率常用小写字母$k$表示,即$k=\tan α(0°\leqslant α<180°,α≠90°)$。

(1)倾斜角是$90°$的直线没有斜率。

(2)倾斜角$α$不是$90°$的直线都有斜率,倾斜角不同,直线的斜率也不同。

3、直线的斜率公式

经过两点$P_1(x_1,y_1)$,$P_2(x_2,y_2)(x_1≠x_2)$的直线斜率公式为$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$=$\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$=$\tan α(α≠90°)$。

(1)当直线平行于$y$轴或与$y$轴重合时,此公式不成立。

(2)斜率公式与两点的顺序无关,即两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换。

4、斜率与倾斜角的关系

斜率等于0时,倾斜角为零度角,此时直线平行于$x$轴或与$x$轴重合。

斜率大于0时,倾斜角为锐角,此时直线的斜率$k$随着倾斜角的增大而增大。

斜率小于0时,倾斜角为钝角,此时直线的斜率$k$随着倾斜角的增大而增大。

斜率不存在时,倾斜角为直角,此时直线平行于$y$轴或与$y$轴重合。

注:斜率的绝对值越大,直线的倾斜程度就越大,直线的倾斜角越接近$90°$,它的取值范围是$(-∞,+∞)$。

二、直线的倾斜角的相关例题

下列说法中,正确的是

A.若直线的倾斜角为$α$,则此直线的斜率为$\tan α$

B.若直直线的斜率为$\tan α$,则此直线的倾斜角为$α$

C.若直线的倾斜角为$α$,则$\sin α>0$

D.任意直线都有倾斜角$α$,且$α≠90°$时,斜率为$\tan α$

答案:D

解析:对于A,当$α$=90°时,直线的斜率不存在,故A不正确;对于B,虽然直线的斜率为$\tan α$,但只有$0°\leqslant α<180°$时,$α$才是此直线的倾斜角,故B不正确;对于C,当直线与$x$轴平行或重合时,$α$=0°,$\sin α$=0 , 故C不正确;根据直线倾斜角的定义以及斜率的定义,可判断D正确;故选:D。

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